Signification
très mystérieux


Origine
Cette expression est d'usage courant mais son origine exacte reste un peu mystère et boule de gomme, même s'il est probable qu'elle est de source enfantine.

D'aucuns y voient une plaisanterie autour du titre du roman de Jules Verne, "le mystère de la Bégum".
Mais comme l'expression n'est attestée qu'au milieu du XXe siècle (Henri de Montherlant l'utilise en 1949 dans "Demain il fera jour"), soit bien après la parution de cet ouvrage, le lien est peu probable.

D'autres y voient plutôt ceci :
Vous savez que, chez une voyante, la boule de cristal permet de découvrir un certain nombre de choses, passées ou à venir, et à expliquer certains mystères concernant la personne qui consulte l'experte en divinations.
Il va de soi que c'est la limpidité du verre qui favorise ces découvertes étonnantes (pour qui y croit).
Mais si, à la place d'une boule de cristal, madame Irma utilise une boule d'un matériau sans transparence, comme une boule de gomme, par exemple, elle ne pourra rien voir et le mystère restera inexpliqué.

Exemple
« Et le président d'avancer que tout le Sénégal allait se mettre à
produire du maïs et que le million de tonnes était possible dès la
saison prochaine. Sur quelle terre, avec quelle eau, mais surtout avec quels producteurs et quels intrants ? Mystère et boule de gomme, comme qui dirait. »
Mamadou Dia - Échec de l'alternance au Sénégal et crise du monde libéral - 2005

Complément
Et si jamais quelqu'un vous demande comment on fait un lavement, vous pourrez répondre que c'est clystère et boule de gomme.